雑録　／　都市はセミラティスではない

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順序集合

　集合 M 上の関係 R が順序関係あるいは半順序関係（partial ordering relation）であるとは、それが次の反射律（reflexive law）、反対称律（antisymmetric law）、推移律（transitive law）を充たすことを云う。

		反射律					M のどんな要素 x についても x R x 。
		反対称律					M のどんな要素 x 、y についても、x R y かつ y R x ならば、x = y 。
		推移律					M のどんな要素 x 、y 、z についても、x R y かつ y R z ならば、x R z 。

順序関係を伴う集合を順序集合または半順序集合（partially ordered set）と云う。例えば、ひとつの集合の部分集合の全体あるいは一部から成る集合は、包含関係 ⊆ を順序関係として伴う順序集合だ。
　順序関係 ≦ を伴う集合 M の空でない部分集合 N について、N の要素 a が N の最大要素（maximum element）であるとは、N のどんな要素 x ついても x ≦ a となることを云い、N の要素 a が N の最小要素（minimum element）であるとは、N のどんな要素 x ついても a ≦ x となることを云う。
　順序関係 ≦ を伴う集合 M とその空でない部分集合 N について、M の要素 a が N の上界（upper bound）であるとは、N のどんな要素 x についても x ≦ a となることを云い、M の要素 a が N の下界（lower bound）であるとは、N のどんな要素 x についても a ≦ x となることを云う。
　順序関係 ≦ を伴う集合 M とその空でない部分集合 N について、M の要素 a が N の上限（supremum）であるとは、a がN の上界全体の集合の最小要素であることを云い、M の要素 a が N の下限（infimum）であるとは、a がN の下界全体の集合の最大要素であることを云う。
　順序関係 ≦ を伴う集合 M が線形順序集合（linearly ordered set）であるとは、M のどんな要素 x 、y についても、x ≦ y または y ≦ x となることを云う。