はじめまして。さっそく質問です。無線LANカードをつけているパソコン
だけでインターネットはつなげれるんですか?それともLANケーブルを
つないでるパソコンの電源がついてないとだめなんですか?

無線ルータ/アクセスポイント (親機) の電源さえ入っていれば 無線
LANアダプターを設置しているパソコンだけでインターネット接続は OK
です。このサイトにも、「6 子機側パソコンの設定」 2ページ目に書いて
ありますので、見てくださいね。
 ↓ です。
インターネット
  接続について
実例 Q&A!
かんたん無線LAN 編 (インターネット接続は?)

PC 初心者なんですが質問させてください。 インターネットがつながる
環境じゃないと無線LANを組むことはできないのですか?ちょっとした
事情があって今インターネットができない環境にあります。
もちろんプロバイダにも入っていない環境です。 パソコンが 3台あって
それを無線LAN でつなげたいなって思っています。
もしよかったら購入するものとかやり方を教えてもらえると嬉しいです。

お考えの「無線LAN」は、ファイル共有やプリンター共有 を行う、本来
の LAN のことですね。 アドホックモード とすることで可能です。
インターネット接続とは切り離して考えて構いません。パソコン相互の
ネットワークを「無線」で構築するということですから、準備するものは
無線LANアダプター のみとなります。当然、パソコン 3台分必要です。
アドホックモード
    について
ADSL関係は?
PSP/ソフトウェアAP
かんたん無線LANと小学校教育実践

ノートパソコン を入手し、ネットワークの設定と 無線LAN の設定を
行いました。 ネットワークの設定は出来ましたが、インターネットに
接続出来ません。何か設定ミスでもあったのでしょうか?

複数の無線LANアダプターが存在する場合、
「ネットワークセットアップウィザード」 でLANの設定を行うと、手順に
よっては 「ネットワークブリッジ」 が意図せずに構成されてしまいます。
これが原因でインターネットに接続が出来なくなることがありますので
インターネット
  接続について
https://kantanmusen.sakura.ne.jp/cn927.oak/2_027.htm
アドホックモード
このページの下方の部分です。

パソコン相互のネットワークを構築する場合は
(ad-hoc Mode) を選択します。

実例Q&A! インデックス
無線LANアダプターは USB 接続タイプのものが主流になっています。
無線ルータを介する場合は、Infrastructure モード に設定しますが、
確認の方法は コントロールパネルから 「ネットワーク接続」 をダブル
クリックして 「ネットワーク接続」 画面の中に 「ネットワークブリッジ」
があるか否かです。削除する場合は、ネットワークブリッジアイコンを
右クリックし、メニューの 「削除」 を選んでください。
ネットワークブリッジを削除 してください。